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哪个函数的导数是arctanx

2025-10-25 11:56:57

问题描述:

哪个函数的导数是arctanx,拜谢!求解答这个难题!

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2025-10-25 11:56:57

哪个函数的导数是arctanx】在微积分中,我们经常需要求一个函数的导数,但有时也会反过来思考:哪个函数的导数是 arctanx? 这个问题看似简单,实际上涉及到反导数(即不定积分)的概念。下面我们来总结一下,哪些函数的导数可以得到 arctanx,并通过表格形式进行清晰展示。

一、基本概念回顾

我们知道,若一个函数 $ f(x) $ 的导数为 $ g(x) $,那么 $ f(x) $ 就是 $ g(x) $ 的一个原函数,或者说 $ f(x) $ 是 $ g(x) $ 的不定积分。因此,我们要找的是:

$$

\int \arctan x \, dx = ?

$$

也就是说,我们需要找到一个函数,其导数是 $ \arctan x $。

二、常见函数及其导数关系

以下是一些常见的函数及其导数,其中部分函数的导数为 $ \arctan x $ 或与之相关:

函数 导数 备注
$ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ $ \arctan x $ 该函数是 $ \arctan x $ 的一个原函数
$ \arctan x $ $ \frac{1}{1 + x^2} $ 反函数的导数
$ \frac{x^2}{2} \arctan x $ $ \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} + \frac{x}{2} \arctan x $ 非直接等于 $ \arctan x $
$ \ln(1 + x^2) $ $ \frac{2x}{1 + x^2} $ 与 $ \arctan x $ 相关但不等同

三、重点解析:$ \int \arctan x \, dx $

为了准确回答“哪个函数的导数是 arctanx”,我们可以计算这个积分:

$$

\int \arctan x \, dx

$$

使用分部积分法,设:

- $ u = \arctan x $,则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ dv = dx $,则 $ v = x $

根据分部积分公式:

$$

\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

再计算第二个积分:

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

所以最终结果为:

$$

\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

四、结论

综上所述,函数 $ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ 的导数是 $ \arctan x $。这是最直接的答案。

当然,由于不定积分包含任意常数 $ C $,因此所有形如:

$$

x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

的函数,其导数都是 $ \arctan x $。

五、总结

- 哪个函数的导数是 arctanx?

答案是:$ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $

或者其加上任意常数的形式。

- 关键点:

- 涉及到不定积分的计算。

- 分部积分是解决这类问题的有效方法。

- 不同函数的导数可能与 $ \arctan x $ 相关,但不一定完全相同。

附表:函数与导数对照

原函数 导数
$ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ $ \arctan x $
$ \arctan x $ $ \frac{1}{1 + x^2} $
$ \ln(1 + x^2) $ $ \frac{2x}{1 + x^2} $
$ \frac{x^2}{2} \arctan x $ $ \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} + \frac{x}{2} \arctan x $

希望这篇文章能帮助你更清晰地理解“哪个函数的导数是 arctanx”这个问题。

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