【哪个函数的导数是arctanx】在微积分中,我们经常需要求一个函数的导数,但有时也会反过来思考:哪个函数的导数是 arctanx? 这个问题看似简单,实际上涉及到反导数(即不定积分)的概念。下面我们来总结一下,哪些函数的导数可以得到 arctanx,并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本概念回顾
我们知道,若一个函数 $ f(x) $ 的导数为 $ g(x) $,那么 $ f(x) $ 就是 $ g(x) $ 的一个原函数,或者说 $ f(x) $ 是 $ g(x) $ 的不定积分。因此,我们要找的是:
$$
\int \arctan x \, dx = ?
$$
也就是说,我们需要找到一个函数,其导数是 $ \arctan x $。
二、常见函数及其导数关系
以下是一些常见的函数及其导数,其中部分函数的导数为 $ \arctan x $ 或与之相关:
| 函数 | 导数 | 备注 |
| $ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ | $ \arctan x $ | 该函数是 $ \arctan x $ 的一个原函数 |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | 反函数的导数 |
| $ \frac{x^2}{2} \arctan x $ | $ \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} + \frac{x}{2} \arctan x $ | 非直接等于 $ \arctan x $ |
| $ \ln(1 + x^2) $ | $ \frac{2x}{1 + x^2} $ | 与 $ \arctan x $ 相关但不等同 |
三、重点解析:$ \int \arctan x \, dx $
为了准确回答“哪个函数的导数是 arctanx”,我们可以计算这个积分:
$$
\int \arctan x \, dx
$$
使用分部积分法,设:
- $ u = \arctan x $,则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
- $ dv = dx $,则 $ v = x $
根据分部积分公式:
$$
\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
再计算第二个积分:
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
所以最终结果为:
$$
\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
四、结论
综上所述,函数 $ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ 的导数是 $ \arctan x $。这是最直接的答案。
当然,由于不定积分包含任意常数 $ C $,因此所有形如:
$$
x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
的函数,其导数都是 $ \arctan x $。
五、总结
- 哪个函数的导数是 arctanx?
答案是:$ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $
或者其加上任意常数的形式。
- 关键点:
- 涉及到不定积分的计算。
- 分部积分是解决这类问题的有效方法。
- 不同函数的导数可能与 $ \arctan x $ 相关,但不一定完全相同。
附表:函数与导数对照
| 原函数 | 导数 |
| $ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ | $ \arctan x $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ \ln(1 + x^2) $ | $ \frac{2x}{1 + x^2} $ |
| $ \frac{x^2}{2} \arctan x $ | $ \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} + \frac{x}{2} \arctan x $ |
希望这篇文章能帮助你更清晰地理解“哪个函数的导数是 arctanx”这个问题。


