【复数乘法法则】在数学中，复数是由实数和虚数部分组成的数，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的乘法是复数运算中的基本操作之一，掌握其法则对于进一步学习复数的性质和应用非常重要。
复数乘法的基本规则是将两个复数相乘时，使用分配律展开，并将结果中的 $ i^2 $ 项替换为 $ -1 $。具体来说，若有两个复数 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $，则它们的乘积为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
$$
由于 $ i^2 = -1 $，可以简化为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
因此，复数乘法的结果是一个新的复数，其实部为 $ ac - bd $，虚部为 $ ad + bc $。
复数乘法法则总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将两个复数分别写成标准形式：$ a + bi $ 和 $ c + di $ |
| 2 | 使用分配律展开乘法：$ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 $ |
| 3 | 合并同类项，将含有 $ i $ 的项合并，不含 $ i $ 的项合并 |
| 4 | 替换 $ i^2 $ 为 $ -1 $，得到最终的实部和虚部 |
| 5 | 最终结果为 $ (ac - bd) + (ad + bc)i $ |
示例计算
假设 $ z_1 = 2 + 3i $，$ z_2 = 4 + 5i $
根据公式：
- 实部：$ 2 \times 4 - 3 \times 5 = 8 - 15 = -7 $
- 虚部：$ 2 \times 5 + 3 \times 4 = 10 + 12 = 22 $
所以，$ z_1 \cdot z_2 = -7 + 22i $
通过以上步骤和示例，可以看出复数乘法的过程相对清晰，只要按照规则逐步进行，就能准确地得出结果。熟练掌握这一法则，有助于理解更复杂的复数运算，如复数的除法、幂运算等。